Des chercheurs découvrent une forme unique qui recouvre le plan de manière apériodique et sans réflexion

Sep 10, 2023

5 juillet 2023

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par Joe Petrik, Université de Waterloo

Récemment, une équipe internationale de quatre personnes, dont le Dr Craig Kaplan, professeur à la Cheriton School of Computer Science, a découvert une forme unique qui recouvre le plan (une surface infinie et bidimensionnelle) selon un motif qui ne pourra jamais se répéter.

La découverte a fasciné les mathématiciens, les passionnés de carrelage et le public.

La forme, un polygone à 13 côtés qu'ils appellent « le chapeau », est connue des mathématiciens sous le nom de monotile apériodique ou d'« einstein », les mots allemands qui signifient « une pierre ».

Mais la découverte la plus récente de l’équipe a encore une fois placé la barre plus haut. Ils ont trouvé une autre forme, apparentée à la première, qui répond à une définition encore plus stricte. Surnommée le « spectre », la nouvelle forme recouvre un plan selon un motif qui ne se répète jamais sans l'utilisation d'images miroir de la forme. Pour cette raison, on l'appelle également « vampire einstein », une forme qui se carrele de manière apériodique sans nécessiter sa réflexion.

"Notre premier article a résolu le problème d'Einstein, mais comme la forme nécessitait une réflexion pour être carrelée de manière apériodique, les gens ont soulevé une question légitime : existe-t-il une forme qui peut faire ce que fait le chapeau mais sans réflexion", explique Kaplan. "C'est notre chance d'avoir trouvé une forme qui non seulement résout ce sous-problème, mais qui le résout également si peu de temps après le premier article."

Pour les mathématiciens, le chapeau et son image dans le miroir forment une seule forme, mais dans le monde physique, les formes gauchers et droitiers peuvent se comporter différemment. Vous ne pouvez pas, par exemple, porter un gant pour droitier sur votre main gauche.

"Si vous carreliez apériodiquement le sol d'une grande salle de bains avec des carreaux en forme de chapeau émaillés sur un côté, vous auriez besoin de chapeaux et d'images miroir de chapeaux", explique Kaplan.

Mais ce n’est pas cette argutie qui a motivé la récente découverte.

La découverte du vampire Einstein a commencé avec les réflexions de David Smith, un technicien d'impression à la retraite et amateur de formes autoproclamé du Yorkshire, en Angleterre, dont la curiosité des mois plus tôt a conduit à la découverte originale d'Einstein.

"Dave nous a envoyé un e-mail quelques jours après la mise en ligne de notre article sur les chapeaux pour nous dire qu'il avait joué avec une forme similaire qui semblait se comporter étrangement", explique Kaplan. "Yoshiaki Araki, un mathématicien japonais et artiste bien connu dont le travail s'inscrit dans l'esprit de MC Escher, avait publié des photos de Tile (1,1) qui ont incité Dave à l'examiner plus en détail."

Yoshiaki a posté une question intrigante sur Twitter : « Un pavage de tortue apériodique basé sur un nouveau carrelage monotile apériodique (1, 1.1). Dans le carrelage, on dit qu'environ 12,7 % des carreaux sont réfléchis. Le vert est un exemple. Un de plus La tortue réfléchie est cachée dans le carrelage. Qui est le reflet ? »

"Yoshi avait transformé Tile (1,1) en tortues et c'est un peu difficile de voir l'autre tortue réfléchie sur cette image. Mais cela a rendu Dave curieux. Et si nous carrelions avec cette forme mais sans reflets ? Ce faisant, Dave a découvert qu'il pouvait construire des carrelages progressivement vers l'extérieur selon un motif qui ne s'arrêtait pas et ne se répétait pas.

Mais ensuite, cette forme est venue avec un problème différent. Comme l'explique Kaplan, si vous utilisez les réflexions de Tile(1,1), le motif se répète. En d’autres termes, c’est périodique. Mais si Tile(1,1) est modifié en remplaçant ses bords droits par des courbes, il devient un vampire Einstein – une forme unique qui, sans réflexion, recouvre le plan infini selon un motif qui ne pourra jamais se répéter.