Origami : les mathématiques dans le pliage

Nov 30, 2023

7 janvier 2015

par Thomas Hull, La conversation

L'origami est l'art japonais ancien du pliage du papier. Un carré de papier non coupé peut, entre les mains d'un artiste en origami, être plié en un oiseau, une grenouille, un voilier ou un scarabée de samouraï japonais. L'origami peut être extraordinairement compliqué et complexe.

L'art de l'origami a connu une renaissance au cours des 30 dernières années, avec la création de nouveaux designs à des niveaux de complexité toujours croissants. Ce n'est pas une coïncidence si cette complexité croissante de l'origami est apparue au même moment où les scientifiques, les mathématiciens et les artistes d'origami eux-mêmes découvraient de plus en plus de règles mathématiques qui régissent le fonctionnement du pliage du papier.

En effet, si vous prenez un modèle d'origami, d'oiseau par exemple, et que vous le dépliez soigneusement, vous verrez le motif de plis qui fait office de plan pour le modèle. Ce motif de plis contient le secret de la façon dont le papier est capable de se plier en forme d'oiseau – et ce secret réside dans les mathématiques. En théorie, nous pourrions utiliser ce motif de pli pour déterminer exactement comment le papier doit être plié et quelle forme il prendra – si, bien sûr, nous comprenions toutes les règles secrètes du pliage du papier.

Au fond, les mathématiques consistent à comprendre les règles et les modèles de l’univers, qu’il s’agisse de modèles numériques, boursiers ou naturels. Dans le cas de l'origami, nous devons examiner la géométrie du motif des plis, l'endroit où les lignes se croisent, quels angles elles forment et dans quelle direction les plis se plient : s'agit-il de plis de vallée ou de plis de montagne ?

La plupart des modèles d'origami traditionnels se plient à plat, ce qui signifie que vous pouvez presser le modèle dans un livre sans le froisser. Il s’avère que les motifs de plis des modèles d’origami plats possèdent des propriétés très particulières. L'un d'eux s'appelle le théorème de Maekawa : à chaque sommet où les plis se croisent dans un motif de plis plat en origami, la différence entre le nombre de plis de montagne et de vallée est toujours de deux. Ainsi, à un sommet vous pourriez avoir 5 montagnes et 3 vallées, mais jamais 6 montagnes et 2 vallées, par exemple.

Dans les années 1970, l'astrophysicien japonais Koryo Miura a inventé sa carte pliée Miura, également connue sous le nom de Miura-ori. C'est un exemple de pavage en origami, dans lequel une forme est répétée encore et encore, sans espace, sur toute une surface. Dans ce cas, le motif de pli est un pavage de parallélogrammes disposés de manière à ce que les lignes du pavage obéissent également aux règles de l'origami plié à plat. Le Dr Miura a choisi les montagnes et les vallées de son motif de plis afin que le modèle s'ouvre et se ferme très facilement.

Ce motif de plis constitue une très bonne alternative pour plier une carte, car il s’ouvre et se ferme très facilement. Mais le Dr Miura a utilisé cette conception pour déployer de grands panneaux solaires dans l’espace. Considérez chaque parallélogramme comme une cellule solaire, toutes reliées par des charnières. Le réseau peut ensuite se replier dans un petit emballage pour être placé sur un satellite spatial avant d'être lancé sur une fusée. Une fois dans l’espace, il pourrait être ouvert par une simple tige d’expansion sans l’aide de mains humaines.

Le pli de la carte Miura a inspiré de nombreux chercheurs à étudier son fonctionnement, ses propriétés et la manière dont il peut être utilisé. Par exemple, j'ai travaillé avec une équipe comprenant des chercheurs de l'Université du Massachusetts-Amherst et de l'Université Cornell pour étudier le pli de la carte Miura en tant que dispositif mécanique ; Quelle force est nécessaire pour comprimer le pli et quelle est sa force de rebond lorsqu'il est relâché ? Dans Science, nous avons expliqué comment nous pouvons modifier ce comportement en introduisant des défauts dans le pli de la carte Miura, par exemple en poussant certains sommets dans l'autre sens. Un exemple est présenté ci-dessous.

Notre groupe a également étudié le pliage automatique. Nous avons créé du matériel qui se plie tout seul, ce qui a également suscité l'intérêt d'autres groupes. Le groupe de Ryan Hayward au Centre national Conte pour la recherche sur les polymères a développé un moyen de faire gonfler des feuilles de gel microscopiques le long des plis lorsqu'elles sont chauffées. Leurs méthodes permettent de réaliser une grue microscopique :